第207章 溯源训练：这道题到底在考哪个核心知识点？（1/2）

经历了“转化”受挫的解析几何题，凌凡并没有沉溺于沮丧。他将那道题连同自己的曲折思路完整地记录在“难题本”上，并在旁边用红笔标注了三个大字：需溯源。陈老的“难题破解三式”中，最后一式“溯源”，他自觉运用得还远不够纯熟。这次，他决定主动给自己加练，目标就是提升“溯源”能力——直指题目考查的核心知识点本质。

他选择了一道来自物理竞赛辅导班的题目，这道题曾让不少同学折戟沉沙：

“题目”一质量为的小球，用长度为L的轻绳悬挂于O点。开始时绳子处于水平状态，小球静止。现给小球一个竖直向下的初速度v?。求小球能运动到O点正上方，且绳子始终保持绷直的最小……

“就这么简单？”凌凡心里有些嘀咕。这道题在竞赛班错误率很高，如果答案这么直接，不应该有这么多人做错。他感觉自己可能忽略了什么。

第一次溯源：审视逻辑链条。

他重新回顾过程。从A到B，机械能守恒，没问题。B点临界条件，T=0，向心力仅由重力提供，也没问题。联立求解，数学计算正确。

那么问题出在哪里？是不是过程的合法性上？小球从水平位置以向下的初速度开始，真的能直接荡到正上方吗？它的轨迹是圆周，会不会在到达B点之前就掉下来了？或者，绳子在某个中间位置就松弛了？

他意识到，自己默认了“小球能运动到B点”这个前提，但题目要求的是“能运动到O点正上方”的最小初速度。这个最小速度，恰恰对应着一种临界状态。在这个临界状态下，小球是否真的是在B点才达到T=0的临界条件？

第二次溯源：深入物理图景。

他决定仔细分析小球从A到B的整个运动过程。小球在任意位置（与竖直方向夹角为θ）时的速度v，可以由机械能守恒求出（以A点为零势能点更方便）：

……

在任意角度φ（从竖直向下开始逆时针测量），小球位置。

重力g，分解为径向分量（沿半径指向圆心）和切向分量。

径向分量：gsφ？画图分析：当φ=0（最低点），重力全部提供向心力，径向分量为g（指向圆心）。当φ=90°（水平），重力径向分量为0。当φ=180°（最高点），重力径向分量为-g（背离圆心）。所以，径向分量为gsφ？当φ=180°，s180°=-1，所以是-g，正确。

所以向心力方程（径向，正方向指向圆心）：

T+gsφ=v2/L。(方程4)//因为当φ=180°时，sφ=-1，所以T+g*(-1)=T-g，与之前一致。

绳子绷直要求T≥0。

所以，在整个运动过程中，要保证绳子始终绷直，就需要在每一个φ角度（从90°到180°），都满足T=v2/L-gsφ≥0。

即v2≥gLsφ，对于所有φ∈[90°,180°]成立。(不等式★)

在φ∈[90°,180°]这个区间内，sφ≤0。所以不等式★右边gLsφ≤0。而v2总是大于0的，所以这个不等式在φ∈[90°,180°)时自动成立（因为v2＞0≥gLsφ）。只有在φ=180°（最高点B）时，s180°=-1，不等式变为v2≥-gL，这更是恒成立。

等等！按照这个分析，只要小球能到达最高点，在整个过程中绳子拉力T似乎都大于0？这和他最初的解法结论一致，似乎√(3gL)就是正确答案？

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