第206章 转化思维：把几何问题转化为代数问题（1/2）
（这部作品的受众读者应该很少，因为我把它写成了一部学习的工具书，简单的说就是一本很另类的小说，希望它能放在每一位老师和学生的课桌上。正文里面会出现大量的解题过程、解题思路，需要大量的数字符号、英语单词，纯是剧情需要！）
“拆解术”的成功实践，让凌凡在面对综合性难题时，拥有了将其“分而治之”的底气。然而，在数学的深水区，尤其是解析几何的战场上，他很快遇到了另一种类型的挑战——那些依赖于精妙几何直观、辅助线，或者对图形性质有极高洞察力的题目。这类题目，往往“拆解”容易，但“转化”困难，找不到那把将几何语言翻译成代数语言的钥匙。
数学课上，老师正在讲解一道经典的解析几何大题，源自去年的模拟考试：
“题目”已知椭圆C:x2/4+y2/3=1。过点P(1,0)作直线l交椭圆于A,B两点。求△PAB面积的最大值，及此时直线l的方程。
题目描述简洁，图形也清晰：一个椭圆，一个定点，一条动直线穿过定点与椭圆相交，求形成的三角形面积最大值。
凌凡首先尝试“拆解”：
1.目标：求△PAB面积S的最大值。
2.条件：椭圆方程已知，点P坐标已知，直线l过P点，与椭圆交于A、B。
3.核心工具：弦长公式？点到直线距离？面积公式(S=1/2*|AB|*d，其中d是P到直线AB的距离？不对，P在AB上，距离为0！)
他立刻意识到问题所在。△PAB的顶点是P,A,B，其中P在边AB上！所以这个三角形是退化的？不，A和B是椭圆上两个不同的点，P在直线AB上，但不在线段AB上（因为P在椭圆内部）。所以△PAB是一个正常的三角形，底边可以是AB，高是点P到直线AB的距离？不对！点P在直线AB上，到AB的距离永远是0！
凌凡卡壳了。他惯用的面积公式（底乘高除以二）在这里似乎失效了。他尝试在脑海中构图，想象着直线l绕点P旋转，与椭圆相交，三角形PAB的形状和面积在不断变化。如何定量地描述这个面积？
他看到周围有同学开始设直线方程。设l:y=k(x-1)（因为过点P(1,0)）。然后与椭圆方程联立，消去y，得到一个关于x的一元二次方程。这个方程的两个根x1,x2对应A、B两点的横坐标。然后呢？用弦长公式求|AB|。然后……怎么求面积？点P在直线上，无法直接作高。
他感觉自己的思维被束缚在了纯粹的几何直观里，找不到通向代数的桥梁。这种“看得见，摸不着”的感觉，比面对复杂的代数运算更让人烦躁。
就在这时，他听到斜前方的苏雨晴轻声对同桌说了一句：“……用分割法，或者直接用坐标公式。”
声音很轻，但“分割法”和“坐标公式”这两个词，像两道闪电，瞬间劈开了凌凡脑中的迷雾！
转化！陈老心法中的第二式——转化！
他一直在试图用传统的底乘高公式，但此路不通。为什么不能转换一种计算面积的方式？
思路一：坐标面积公式（鞋带公式）
如果知道三角形三个顶点的坐标A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,0)，那么面积S=1/2*|(x1-1)(y2-0)-(x2-1)(y1-0)|=1/2*|(x1-1)y2-(x2-1)y1|。
这个公式完美地将面积问题转化为了坐标运算问题！而A、B是直线与椭圆的交点，它们的坐标可以通过联立方程，用斜率k表示出来！
思路二：分割法（补形）
以P为顶点，将△PAB看作是由△POA和△POB组合而成（O为原点），但这样更复杂。或者，利用S=1/2*|PA|*|PB|*s∠APB？但∠APB难以用k表示。
显然，思路一是更直接的转化路径！
凌凡立刻行动起来，执行“转化”步骤：
1.设定代数参数：设直线l方程为y=k(x-1)。
2.联立方程，转化为代数关系：
将y=k(x-1)代入椭圆方程x2/4+y2/3=1。
得：x2/4+[k2(x-1)2]/3=1。
两边乘以12：3x2+4k2(x2-2x+1)=12。
整理得：(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0。(方程★)
这个关于x的方程的两个根x1,x2即为A、B两点的横坐标。
3.将目标量（面积）用参数表示：
根据坐标面积公式：
S=1/2*|(x1-1)y2-(x2-1)y1|
=1/2*|(x1-1)*k(x2-1)-(x2-1)*k(x1-1)|//代入y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)
=1/2*|k[(x1-1)(x2-1)-(x2-1)(x1-1)]|
等等！里面是(x1-1)(x2-1)-(x2-1)(x1-1)=0？
凌凡心里一咯噔，难道算错了？面积恒为0？这不可能！
他重新检查。S=1/2|(x1-1)y2-(x2-1)y1|
=1/2|(x1-1)k(x2-1)-(x2-1)k(x1-1)|
=1/2|k[(x1-1)(x2-1)-(x2-1)(x1-1)]|
括号内确实是完全相同的两项相减，结果为0。
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