第93章 给赵鹏讲题：如何用能量观点巧解难题（1/2）

寒假闭关的时光枯燥却充实，凌凡感觉自已的物理知识体系日益坚固，对能量、动量这些新观念的理解也愈发深刻。然而，真正的掌握，不仅在于自已能解出多难的题，更在于能否将复杂的思路清晰地传达给别人，并让对方理解。这个机会，在新学期开学不久后，便由他的“开山大弟子”赵鹏送上门来。

一个课间，赵鹏哭丧着脸，拿着一本厚厚的物理练习册蹭到凌凡旁边，指着一道画满了各种力、看起来异常复杂的题目。

“凡哥！救命啊！这道题我做了一晚上，头发都快薅秃了！用牛顿定律解，受力分析搞得我想死，方程列了一堆，根本解不出来！”赵鹏的声音充满了绝望。

凌凡接过练习册，题目如下：

“题目”：如图，一轻弹簧一端固定于墙面，另一端与质量为的物体A相连，A置于光滑水平面上。另一质量为2的物体B以初速度v?冲向A。已知弹簧劲度系数为k，且B与A之间的摩擦因数为μ。假设B与A接触后能共同运动（即不分离）。求：（1）B与A刚达到共同速度时，弹簧的压缩量x?。（2）AB共同体向右运动的最大距离x_ax。

凌凡快速扫题。涉及碰撞（可能非弹性）、弹簧、摩擦力、共同运动……过程复杂。若用牛顿定律，需要分析A、B各自的受力（弹簧弹力、相互摩擦力）、加速度变化，这确实是场噩梦，需要列出微分方程，远超高中范围。

但他嘴角却露出一丝微笑。这道题，简直是为他量身定做的，用来展示能量观点和动量观点在处理复杂过程时化繁为简的威力！

“鹏啊，”凌凡放下练习册，看着赵鹏，“你掉进‘牛顿定律’的陷阱里了。这道题，谁用牛顿定律谁傻。来，今天哥教你点高级的——能量观和动量观。”

赵鹏眼睛一亮，立刻搬来椅子，拿出小本本，一副虔诚听讲的模样。

“首先，建模。”凌凡拿起笔，在草稿纸上画图，“对象：A和B。环境：光滑水平面（无摩擦）、弹簧、B和A之间有滑动摩擦。过程：B撞A，然后一起运动压缩弹簧。”

“整个过程很复杂，但我们不关心细节。我们只关心几个关键的状态和整个系统的能量、动量变化。这就是能量和动量观点的精髓——绕过过程细节，直击首尾状态。”

“先看第（1）问：求B与A刚达到共同速度时，弹簧的压缩量x?。”凌凡圈出“刚达到共同速度”这几个字。“‘刚达到共同速度’意味着什么？意味着碰撞过程刚刚结束！B和A获得了相同的速度，但此时弹簧可能已经被压缩了一点（x?≠0）。”“这个过程，从B接触A开始，到两者共速结束。在这个过程中，系统（A+B）水平方向受外力吗？”凌凡提问。

赵鹏仔细看：“墙对弹簧的拉力？……哦！弹簧是轻弹簧，墙对弹簧的拉力是内力！水平方向无外力！所以……系统动量守恒！”

“Bgo！”凌凡赞赏地点头，“所以，对于第（1）问，从开始到共速，我们首先用动量守恒定律！”“设共同速度为v共。”“初态动量：只有B有动量，p初=2*v?”（设向右为正）“末态动量：(+2)*v共=3v共”“列方程：2v?=3v共=＞v共=(2/3)v?”

“看，一步到位，求出了共同速度。”凌凡轻松地说。“但是……这还没完，问的是弹簧压缩量x?啊？”赵鹏疑惑道。

“别急。”凌凡老神在在，“动量守恒只给了我们速度关系。现在，关注能量。从B接触A开始，到两者共速结束，这个过程能量守恒吗？”

赵鹏思考：“有滑动摩擦力！B和A之间有相对滑动，摩擦力做功，肯定有机械能损失！所以机械能不守恒。”

“非常对！”凌凡肯定道，“所以，我们不能用机械能守恒。但是，我们可以用能量转化和守恒的普遍观点！或者说，用功能关系！”“在这个过程中，系统总机械能的减少量，等于摩擦力克服相对滑动所做的功（转化为内能）。”“我们来计算一下。”“初态机械能E初：只有B的动能，(1/2)2v?2=v?2”“末态机械能E末：A和B的共同动能+弹簧的弹性势能”“共同动能：(1/2)3(v共)2=(1/2)3(4/9v?2)=(2/3)v?2”（代入v共=(2/3)v?）“弹簧弹性势能：(1/2)kx?2”“所以E末=(2/3)v?2+(1/2)kx?2”“机械能损失：ΔE=E初-E末=v?2-[(2/3)v?2+(1/2)kx?2]=(1/3)v?2-(1/2)kx?2”“这部分损失的能量，去哪儿了？”凌凡引导。

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