第65章 来自林天的不解：“这题需要这么麻烦？”（1/2）

晚自习的尾声，空气里漂浮着一种混合了疲惫与解脱的微妙气息。凌凡刚刚从那场由赵鹏引发的“眼瞎乌龙”讲解战中脱身，虽然过程啼笑皆非，但内心却因思维流程得到验证而充盈着一种扎实的满足感。他重新将注意力集中回自己的战场——那道即将攻克的椭圆压轴题。

M(4,3√3k)，N(-4,3√3/k)，其中k=tan(θ/2)。坐标已被“灵感笔记”中记录的半角公式化简得极致简洁。

他深吸一口气，开始最后的冲锋——求直线MN的方程。

他采用两点式。设M(x1,y1),N(x2,y2)，则直线MN的斜率：k_MN=(y2-y1)/(x2-x1)=[(3√3/k)-(3√3k)]/[(-4)-4]=[3√3(1/k-k)]/(-8)化简：=[3√3((1-k2)/k)]/(-8)=-(3√3(1-k2))/(8k)

接着，他用点斜式，取点M(4,3√3k)：y-3√3k=k_MN*(x-4)即y-3√3k=[-(3√3(1-k2))/(8k)]*(x-4)

这个方程看起来依然复杂，含有参数k。但他记得目标：证明MN恒过定点。这意味着这个方程应该能整理成某种形式，其中参数k的影响会被抵消，或者方程始终满足某个固定点的坐标。

他尝试着将方程去分母，两边同时乘以8k：8k(y-3√3k)=-3√3(1-k2)(x-4)展开左边：8ky-24√3k2=-3√3(1-k2)(x-4)展开右边：=-3√3(x-4)+3√3k2(x-4)

将含有k2的项移到一边，不含k的项移到另一边：8ky-24√3k2-3√3k2(x-4)=-3√3(x-4)合并k2项：8ky-3√3k2[8+(x-4)]=-3√3(x-4)//-24√3=-3√3*8即：8ky-3√3k2(x+4)=-3√3(x-4)

这个方程对于任意k（即对于椭圆上任意点P）都要成立，并且要导致MN过定点。观察这个式子，它含有k的一次项和二次项。一个思路是将其视为关于k的方程，要求它对所有k都成立，那么k的各次幂的系数必须分别等于零？（但这似乎不对，因为k是变化的）

他正在苦苦思索如何从这个方程中挖掘出“恒过定点”的信息，一个身影悄无声息地停在了他的桌旁。

凌凡下意识地抬头，映入眼帘的是林天那张总是带着几分懒散和漠然的脸。林天似乎刚睡醒，眼角还带着一丝惺忪，但那双眼睛看向凌凡草稿纸时，却闪过一抹锐利的光。

“椭圆定点题？”林天的声音很平淡，听不出情绪，他目光扫过凌凡那写满了化简过程和最终那个复杂方程的草稿纸，眉头几不可察地微微蹙起，“你这么做……不觉得太麻烦了吗？”

凌凡的心猛地一跳。麻烦？他觉得自己已经运用了灵感，化简了坐标，每一步都逻辑清晰，怎么在林天的眼里，就成了“麻烦”？

一种混合着不服气和不自信的情绪涌上来。他稳住心神，尽量平静地问：“那……应该怎么做？”

林天没直接回答，而是随手从凌凡笔袋里抽了一支铅笔，俯下身，在凌凡草稿纸的空白处画了起来。

他没有设参数θ，也没有进行任何三角变换。

他只是很简单地设点P(x0,y0)，且满足椭圆方程x02/4+y02/3=1。

然后，他写：直线AP方程：A(-2,0),P(x0,y0)，两点式求得方程。求M点：M是AP与x=4的交点。直接将x=4代入AP方程，用x0,y0表示出M的纵坐标y_M。同样，直线BP方程：B(2,0),P(x0,y0)。求N点：N是BP与x=-4的交点。将x=-4代入BP方程，得到N的纵坐标y_N。

林天写得很快，表达式看起来确实比凌凡的三角形式要复杂一些，涉及x0,y0。凌凡心中稍安，觉得似乎也没简单到哪里去。

但接下来，林天的操作让凌凡瞪大了眼睛。

林天并没有去求直线MN的方程！

他只是在草稿纸上写下一行字：“欲证MN过定点，可考虑MN的任意两位置交点”

随即，林天特殊取点！他并不是随机取，而是选择了两个极其特殊的P点位置。

第一种情况：他取P为椭圆上顶点（0,√3）！“因为椭圆y轴上的点计算最简单”代入计算：P(0,√3)AP方程：过A(-2,0)和P(0,√3)，斜率=√3/2，方程：y=(√3/2)(x+2)求M：x=4代入，y_M=(√3/2)(4+2)=(√3/2)6=3√3→M(4,3√3)BP方程：过B(2,0)和P(0,√3)，斜率=√3/(0-2)=-√3/2，方程：y=(-√3/2)(x-2)求N：x=-4代入，y_N=(-√3/2)(-4-2)=(-√3/2)(-6)=3√3→N(-4,3√3)此时，直线MN：M(4,3√3),N(-4,3√3)，是一条水平线y=3√3。

第二种情况：他取P为椭圆下顶点（0,-√3）！P(0,-√3)AP方程：过A(-2,0)和P(0,-√3)，斜率=-√3/2，方程：y=(-√3/2)(x+2)求M：x=4代入，y_M=(-√3/2)(4+2)=(-√3/2)6=-3√3→M(4,-3√3)BP方程：过B(2,0)和P(0,-√3)，斜率=(-√3)/(0-2)=√3/2，方程：y=(√3/2)(x-2)求N：x=-4代入，y_N=(√3/2)(-4-2)=(√3/2)(-6)=-3√3→N(-4,-3√3)此时，直线MN：M(4,-3√3),N(-4,-3√3)，是一条水平线y=-3√3。

写完这两种情况，林天停下了笔。

凌凡看着这两个结果：一条是y=3√3，一条是y=-3√3。这两条水平线，怎么可能有交点？没有交点，怎么找定点？

就在凌凡疑惑之际，林天的手指在这两个y值上点了点，淡淡地说：“这两条线平行，说明定点不在水平方向上。但注意，这两种情况下，M和N的横坐标都是4和-4。也就是说，无论P取上顶点还是下顶点，直线MN都是水平的。”

然后，林天话锋一转：“这说明，如果MN恒过某个定点，这个定点的纵坐标，必然同时满足y=3√3和y=-3√3？这显然不可能。所以……”

林天顿了顿，看了一眼凌凡。

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