第209章 分层筛法（2/2）

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肖宿的心跳快了一拍。

如果哥德巴赫猜想的本质是一个拓扑不变量的问题，那么它的证明，就不需要精確控制每个细节，只需要证明那个不变量不为零。

他深吸一口气，继续往下推：

“设x为所有素数构成的集合。考虑x的某种紧化或完备化，使其成为一个拓扑空间。

在这个空间上，定义一种加法结构，使得每个偶数n对应一个特定的子空间。

那么，哥德巴赫猜想成立，若且唯若这个子空间与x+x相交非空。”

“如果能证明这个相交数在某种意义下是稳定的，並且对於n=4（4=2+2）已知相交数非零，那么由稳定性，对所有更大的n，相交数也非零。”

这个思路听起来很抽象，但数学上並非不可能。

肖宿想起自己之前研究过的顾辛流型。

那种流型的一个关键性质，就是它的弗洛尔同调在哈密顿扰动下保持不变。

如果能构造一个合適的流型，使得素数集合对应於它的某个拉格朗日子流形，那么哥德巴赫猜想就变成了一个几何定理。

沿著这条路，肖宿继续向前探索。

他先从最基础的地方开始，重新梳理了筛法和圆法的理论框架。

筛法的核心思想，是用一个“筛子”去过滤掉那些不想要的数。

比如要研究素数，就先列出所有整数，然后筛掉所有2的倍数、3的倍数、5的倍数……剩下的就是素数。

但筛法有个问题：筛子太密的时候，误差项会失控。

肖宿想了一个办法，既然不能一次筛到底，那就分层筛。

他把筛的过程拆成了好几层，每一层只负责筛掉一部分合数，同时保留足够的结构信息，最后再把各层的结果用一种巧妙的方式叠加起来。

这个思路来源於他去年处理加权度量构造时的经验。

当时他在研究有理双曲奇点邻近的度量问题时，面对的是一个非常类似的困境：

直接在奇点上做计算会发散，但如果把奇点周围的空间分层展开，一层一层地逼近，最后再取极限，就能得到一个收敛得非常好的结果。

把连续空间的技巧移植到离散的整数集合上，这件事说起来简单，做起来却难如登天。

但肖宿最不怕的就是鸿沟，只是短暂思考了一段时间，他就开始了对这个方法的构造。

他做的第一步是下定义，也就是分清楚什么是层。

他先把从2到n的所有整数，按照它们的最小素因子的大小，分成了若干个层次。

第一层是最小素因子小於n{1/k}的那些合数，第二层是最小素因子在n{1/k}到n{2/k}之间的，以此类推，一直到最后一层，剩下的全是素数。

这个分层方式的好处是，每一层內部的数在某种意义下是“均匀”的，筛起来误差项的增长速度会慢很多。

坏处是，层的数量k本身就是一个需要精心选择的参数。

k太小，层数不够，误差项还是会堆积；k太大，层数太多，每一层的计算复杂度会爆炸。

肖宿花了一个星期的时间，反覆调整这个参数，最终找到了一个微妙的平衡点。

这个平衡点不是一个固定的数字，而是一个依赖於n的函数，当n变化的时候，最优的层数也会跟著变化。

他把这个函数写成了一组递推关係式，密密麻麻地占据了草稿纸的整整五页。

然后第二步就是赋予权重。

分层之后，每一层筛出来的数，是不能直接相加的。

因为不同层的数在最终的计数中贡献的“分量”是不一样的，如果简单粗暴地加起来，就会像把不同面额的硬幣混在一起数，数出来的总数毫无意义。

肖宿需要给每一层赋一个权重。

这个权重要能够精確地反映该层中的数在哥德巴赫分解中的“重要性”。

换句话说，如果一个数更容易作为大偶数的素数加项出现，那么它的权重就应该比其他数更高。

这个想法本身並不新鲜。

陈景润的“1+2”证明里就用过加权筛法，只不过他用的权重函数和肖宿构造的这个完全是两个维度的东西。

陈景润的权重是一个相对简单的、静態的函数，而肖宿需要的权重必须是一个动態的、隨层次变化而变化的算子。

他把这个算子命名为“分层权函数”，用希腊字母w加上下標来表示。

w_1是第一层的权函数，w_2是第二层的，以此类推。

每一个w_i都是一个从整数集合到[0,1]区间的映射，满足一组极其复杂的相容性条件。

而推导这组相容性条件又花了他四天时间。

当最后一个不等號在草稿纸上落定，他终於长舒一口气。

他给这种方法起了个名字：分层筛法。