第50章 二十分钟搞定二试，这速度实在太不可思议了啊！（1/2）
【第三题（45分）】
【设f:??是严格递增函数，满足f=1且对任意正整数n，有f)=f+n。求f的表达式。】
江辰扫了一眼。
“函数方程题，经典题型。”
他几乎没思考，直接写：
“解：先求前几项。由f=1，代入n=1得f)=f+1，即f=1+1=2，矛盾因为f=1，所以f)=f=1，右边f+1=2，1=2矛盾”
江辰愣住了。
“题目出错了”
他重新读题：“f:??是严格递增函数，满足f=1且对任意正整数n，有f)=f+n。”
代入n=1：f)=f+1f=1+1=2，但f=1，矛盾。
“这……”
江辰皱眉。
三秒后，他明白了。
“哦，f=1，但f)=f吗不，f=1，所以f)=f=1，右边应该是1+1=2，確实矛盾。”
“除非……题目中的?是正整数，但可能包含0或者f=1是初始条件，但函数方程对n≥2成立”
他继续往下想。
“先假设题目没错，那么矛盾说明我的推理有问题。f)=f+n，当n=1时，f)=f+1=2，所以f)=2。”
“而f=1，所以f=1，那么f)=f=1，但需要等於2，所以必须f≠1可题目明確说了f=1。”
江辰感觉脑子有点乱。
“这题……有问题”
他决定先跳过，看第四题。
【第四题（45分）】
【设p是奇素数，a?,a?,…,a_p是整数。证明：存在整数k（1≤k≤p）使得∑_{i=1}p2能被p2整除，这里下標模p理解（即a_{p+1}=a_1等）。】
江辰看完，眼睛一亮。
“数论组合题，有点意思。”
“∑2=∑a_{i+k}2-2∑a_{i+k}a_i+∑a_i2=2∑a_i2-2∑a_{i+k}a_i，因为∑a_{i+k}2=∑a_i2。”
“所以要证存在k使2∑a_i2-2∑a_{i+k}a_i≡0odp2，即∑a_i2≡∑a_{i+k}a_iodp2/2不对，模p2。”
“即证存在k使∑a_{i+k}a_i≡∑a_i2odp2。”
“记s_k=∑a_ia_{i+k}，要证存在k使s_k≡s_0odp2，其中s_0=∑a_i2。”
“这等价於证存在k使s_k-s_0≡0odp2。”
“考虑所有k的s_k之和或者用多项式方法……”
江辰脑子飞速转动。
十秒后，他有了思路。
“用傅立叶变换（离散傅立叶变换）。”
“设a=∑a_ixi（多项式），则s_k是aa中xk项的係数不对，循环卷积。”
“实际上，s_k=∑a_ia_{i+k}是序列{a_i}的自相关函数。”
“要证存在k使s_k≡s_0odp2。如果所有s_k≡s_0odp2都不成立，那么所有s_k-s_0≡0odp2都不成立……”
“用反证法：假设对所有k都有s_k?s_0odp2，则s_k-s_0≡r_kodp2，其中r_k是1到p2-1之间的数。”
“考虑∑_{k=1}p=∑_k∑_ia_i=……”
江辰在草稿纸上快速计算。
两分钟后，他找到了关键等式。
“有了！∑_{k=1}ps_k=p∑a_i2，所以∑_{k=1}p=p∑a_i2-p∑a_i2=0。”
“但如果每个s_k-s_0都不被p2整除，它们的和模p2不可能为0，矛盾。”
“所以存在k使p2整除s_k-s_0。”
“严谨化：设b_i=a_iodp，考虑模p下的序列{b_i}，用类似论证可得存在k使∑b_ib_{i+k}≡∑b_i2odp，然后提升到模p2……”
四分钟，第四题搞定。
江辰看了眼时间：9:50。
第四题做完，还剩第三题。
他回过头看第三题。
“函数方程f)=f+n，f严格递增，f=1。”
“代入n=1得f=2，矛盾。所以要么题目错了，要么我的理解错了。”
江辰想了想，突然灵光一闪。
“等等，f是??，?通常指正整数，但有时也包含0。如果包含0，那么f可能存在。”
“设f=c，则f)=f=f+0=c，所以f=c。”
“由f严格递增，f=c，f=1，如果c＜1，则f＜f，但0＜1，可以。c必须是整数，所以c=0。”
“那么f=0，f=1，代入n=1：f)=f+1=2，所以f=2但f=1，矛盾。”
“还是矛盾。”
江辰皱眉。
“除非……f不是1但题目明確说了f=1。”
他决定换个思路。
“假设f=1，那么f)=f=1，但方程要求f)=f+1=2，矛盾。”
“所以题目一定有印刷错误或者?是自然数集包括0，且f=1”
“设f=1，那么f是多少由严格递增，f＞f=1。”
“代入n=0：f)=f=f+0=1，所以f=1，但f＞1，矛盾。”
“也不行。”
江辰感觉这题像个死胡同。
他看了眼时间，9:52。
“算了，先按標准方法解，假设f=1成立，忽略n=1的矛盾。”
“令g=f-n，则方程变为f)=f+nf)=n+g+g=n+2g。”
“但f)又等於f)=f+n=n+2g，自洽。”
“由严格递增，g非负且递增不一定。”
“尝试求前几项：设f=1，则f)=f=1，但方程要求等於2，所以矛盾。跳过n=1。”
“从n=2开始：f)=f+2，设f=a，则f=a+2。”
“由严格递增，f=1＜f=a，所以a≥2。”
“f=b，则f=b+3，且b＞a≥2。”
“继续推导……”
江辰在草稿纸上列出一串等式。
两分钟后，他猜出了答案。
“f=φn+ψ，其中φ是黄金比例/2不对，必须是整数函数。”
“实际上，经典解是f=?φn?或类似形式，但需要验证。”
他快速验证了一下。
“设φ=/2≈1.618，则φ2=φ+1。”
“如果f=?φn?，则f)=?φ?φn??≈φ2n=φn+n=f+n，近似成立。”
“但严格成立需要数论性质，这是经典的beatty序列。”
江辰决定直接写答案：
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