第45章 新的副本（2/2）
n=2:4/2=2。1/1+1/2+1/2。有解。
n=3:4/3=1/1+1/6+1/6。有解。
n=4:4/4=1。1/2+1/3+1/6。有解。
n=5:4/5=1/2+1/4+1/20。有解。
【看起来，解总是存在的。那么，证明的关键，在於构造。】
他没有急於下结论，而是开始思考问题的核心。
【4/n=1/x+1/y+1/z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关係。】
【思路的核心，应该是根据n的性质，来构造出对应的x，y，z。】
突然，一道灵光闪过！
【是n的同余性质！特別是模4的余数！】
一个在解决丟番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。
【任何整数n，根据模4的余数，都可以被分为四类：4k，4k+1，4k+2，4k+3。】
【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那么问题不就解决了吗！】
徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生產所有零件的“模具”！
【第一种情况：n=4k。】
【4/n=4/=1/k。】
【1/k=1/+1/+1/。】
【所以，x=2k，y=3k，z=6k。搞定！这一类最简单。】
【第二种情况：n=4k+2=2。】
【4/n=4/)=2/。】
【2/=1/+1/。还差一个……】
【1/=1/+1/)。】
【所以，4/n=1/+1/+1/)。】
【令x=2k+1，y=2k+2，z=。搞定！】
逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻鬆解决。
但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。
【第三种情况：n=4k+3。】
他尝试了各种恆等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现k，导致解的普適性被破坏。
【这条路，走不通。或者说，简单的恆等变换，在这里失效了。】
他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现眼前是一片光滑的、找不到任何著力点的绝壁。
他放下笔，在房间里来回踱步，强迫自己跳出之前的思维定式。
【如果，从另一个角度看呢】
【4/n=)/)=/)=/)。】
【4/n=1/+1/)。】
【这个恆等式，是解决问题的关键！由ordell在1969年提出！】
一个在数论歷史中闪耀的名字，浮现在他的脑海中！
【我一直在试图自己重新发明轮子！其实前人已经铺好了路！】
思路，瞬间豁然开朗！
他重新坐回桌前，眼神中爆发出前所未有的光芒。
他不再纠结於自己构造，而是直接站在了巨人的肩膀上！
【对於n=4k+3的情况：】
【利用恆等式4/n=1//4)+1//4)。】
【因为n=4k+3，所以n+1=4k+4=4。】
【/4=k+1，是整数！所以1//4)是一个单位分数！】
【令x=/4。】
【现在，只需要將1//4)分解成两个单位分数之和。】
【1/a=1/+1/)。这是一个经典的分解！】
【所以，x=/4，y=n/4+1，z=/4)/4+1)。】
【搞定！第三种情况，解决！】
只剩下最后，也是最难的一种情况：n=4k+1。
他用同样的方法，將问题转化，但发现，无论如何，都无法避免地会出现更复杂的分数形式。
【我到底忽略了什么……】
他看著窗外城市的点点灯火，大脑放空。
突然，他想起了自己最初的验算。
n=5:4/5=1/2+1/4+1/20。
【这里的x，y，z之间，有什么关係】
【如果，我能找到一个关於n的线性同余方程组，它的解，恰好能导出x，y，z呢】
【中国剩余定理！】
一个古老而又强大的东方智慧，如同启明星，照亮了最后的黑暗！
他猛地冲回桌前，心臟狂跳。
他不再试图去“构造”一个通用的公式，而是去“证明”一个解的存在性！
【对於n=4k+1的情况，我们可以找到一个整数t，使得tn+1是一个4的倍数，甚至是某个数的倍数……】
【不，思路更直接一点！我们可以找到两个整数a，b，使得an+1=4b。】
【根据裴蜀定理，只要gcd=gcd=1，这样的a，b就必然存在！】
【利用扩展欧几里得算法，可以找到这样一组a，b。】
【然后，4/n=4a/=4a/……这条路似乎更复杂了。】
他再次陷入沉思，但这一次，他感觉自己离真相只有一步之遥。
【回归方程本身：4=n。】
【如果我能找到一个特殊的x，让这个方程简化呢】
【设x=kn。代入后……不行。】
【设x=/4。】
一个大胆的设想，在他脑中形成。
经过一番极其复杂的代数推演，利用模运算和二次剩余的性质，他最终將问题，锁定在了一个特定的同余方程上！
【……最终，可以证明，对於所有素数n≡1，总能找到满足条件的解。而对於合数，可以通过其素因子分解来构造解。】
当最后一个句號落下时，他长长地舒了一口气，一股难以言喻的、酣畅淋漓的快感，从心底涌起，传遍四肢百骸。
这种攻克未知猜想的喜悦，远比在考场上拿到满分，要来得更加纯粹，更加强烈！
他揉了揉有些酸涩的眼睛，下意识地看了一眼窗外。
窗外的天色，已经由漆黑，转为了鱼肚白，初升的朝阳，正將第一缕金色的光辉，洒向这座异国的城市。
天，已经亮了。