第61章 数学能力升级：从“模仿”到“初步应用”（1/2）

征服三角函数公式混淆的战役，其意义远不止于记住了一堆s、s的变换规则。对凌凡而言，那更像是一次思维的“诺曼底登陆”，是一次从被动接收、模仿例题的“滩头阵地”，向主动应用、甚至初步改造知识来解决问题的“内陆纵深”发起的战略性突破。

他不再满足于只是准确地复现课本上的解题步骤——那种“模仿”阶段，虽然必要，但总让他感觉像是在思维的脚手架上跳舞，小心翼翼，却无法真正触摸到数学天空的穹顶。他知道，真正的数学能力，体现在面对那些披着陌生外衣、需要你自行选择并组合工具的新问题上。

机会很快来了。周五的数学课，讲完了最后一类基础题型，黑板上出现了一道老师称之为“课后思考题”的附加题。大部分同学只是抬头看了一眼，便低下头继续刷自己的练习册——这种明显超纲的题目，不属于他们的得分范围。

但凌凡的眼睛却瞬间亮了。

题目如下：“已知函数f(x)=s2x+√3sxsx+2s2x。求f(x)的单调递增区间。”

没有熟悉的例题模板可以套用。s2x，s2x，sxsx……这些项像一堆散乱的积木，堆在那里，等待着有人能看出它们内在的组合规律。

教室里很安静，只有笔尖划过纸张的沙沙声。凌凡却仿佛能听到自己大脑齿轮开始加速咬合的轻微嗡鸣声。这是一种陌生的、却令人兴奋的挑战感。

他首先尝试了最直接的思路：求导。f(x)=2sxsx+√3(s2x-s2x)-4sx。整理得f(x)=-2sxsx+√3s2x。(因为s2x-s2x=s2x)

然后呢？f(x)＞0求单调增区间？这个表达式看起来依然复杂，涉及s2x和s2x（因为-2sxsx=-s2x），处理起来并不轻松。他卡壳了。

“直接求导，计算量太大，容易出错，不是最优解。”他立刻做出判断，放弃了这条蛮干的路。这本身就是一种进步——以前的凌凡，只会沿着一条路走到黑，或者直接放弃。

他盯着原式：s2x,√3sxsx,2s2x。这些二次齐次式，让他隐隐感到一丝熟悉。像什么呢？

忽然，一个火花闪过脑海！“化一公式”？不对，化一公式是针对asx+bsx的。那这个呢？这看起来像是……像是某个东西的展开形式？

他尝试着反向思考。如果把它看作一个关于sx和sx的二次型呢？或者，能不能把它配成一个完全平方式？

他在草稿纸上写下：s2x+2s2x+√3sxsx=(s2x+s2x)+s2x+√3sxsx=1+s2x+√3sxsx

还是复杂。等等！√3sxsx和s2x……他猛地想起刚刚死磕下来的三角函数公式！“二次正弦公式”？s2x=2sxsx，所以sxsx=(1/2)s2x。“降幂公式”？s2x=(1+s2x)/2！

破局的曙光骤然降临！

他立刻动笔，重新书写：f(x)=s2x+√3sxsx+2s2x=(s2x+s2x)+s2x+√3sxsx//拆项=1+[(1+s2x)/2]+√3*[(1/2)s2x]//代入公式=1+1/2+(1/2)s2x+(√3/2)s2x=3/2+(1/2)s2x+(√3/2)s2x

写到这一步，他几乎要欢呼出来！式子变成了一个常数项加上一个单一的正弦型函数（虽然是s和s的组合）！这熟悉的结构，正是“化一公式”的用武之地！

他强压住激动，继续推导：f(x)=3/2+√[(1/2)2+(√3/2)2]*s(2x+φ)//提取系数，合成正弦其中，辅助角φ由sφ=(√3/2)/1=√3/2,sφ=(1/2)/1=1/2。所以φ=π/6。因此，f(x)=3/2+1*s(2x+π/6)即：f(x)=3/2+s(2x+π/6)

奇迹发生了！一个看起来杂乱无章的三角函数式，竟然被他用降幂公式和化一公式的组合拳，成功地化成了一个简洁明了的正弦型函数！

接下来的问题就变得简单至极。求单调递增区间？正弦函数y=st的增区间是t∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ],k∈Z。这里t=2x+π/6。所以令-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ解这个不等式：两边同时减去π/6：-π/2-π/6+2kπ≤2x≤π/2-π/6+2kπ即：-2π/3+2kπ≤2x≤π/3+2kπ两边再同时除以2：-π/3+kπ≤x≤π/6+kπ,k∈Z

这就是f(x)的单调递增区间！

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