第122章 超纲解答（1/2）

八月二十一日，下午，物理考场。

日光透过老旧的玻璃窗，在粗糙的水泥地上投下斑驳的光块。空气里除了油墨味，还多了汗水的咸涩和一种无形的、绷紧的压抑。笔尖划过纸张的沙沙声汇成一片，偶尔夹杂着一声压抑的叹息或烦躁的翻页声。

李建国坐在靠窗的位置，已经做到了试卷的最后一页。前面的题目如同预料中的路标，被他平稳而精准地逐一越过。选择题和填空题几乎没有消耗他多少时间，那些力学分析、电路计算、光学成像的题目，在他经过灵泉水强化和系统梳理的思维中，如同庖丁眼中的牛，筋骨经络，清晰可辨。

他的目光落在最后一道压轴题上。这是一道综合题，题干描述了一个简化版的“起重机”模型：电动机通过齿轮组带动卷筒，卷起钢丝绳提升重物。给出了电动机的额定功率、齿轮组的传动比、卷筒半径、重物质量，以及提升高度。要求计算：1、匀速提升时钢丝绳的拉力；2、从静止加速到匀速所需的时间（假设电动机输出功率恒定）；3、整个提升过程的总耗电量。

典型的“功-能-功率”综合应用题，考察学生对机械功、功率、动能定理、能量转换的理解和综合运用能力。对一般考生而言，这道题计算繁琐，物理过程需要清晰分段，容易出错。

李建国扫了一眼，心中已然有了清晰脉络。但他没有立刻动笔。因为在这道题下方，还有一行用稍小字体印刷的“附加思考”（不计入总分，供学有余力者探讨）：“若考虑齿轮传动中存在摩擦损耗，且损耗功率与传动速度的平方成正比，试讨论其对上述各问题答案的影响，并尝试给出定量修正的思路。”

考场里响起一片轻微的吸气声和笔杆无意识敲击桌面的声音。显然，不少考生被这“附加思考”难住了，甚至可能影响了前面主题的解答心情。

李建国嘴角微不可察地动了一下。摩擦损耗，功率与速度平方成正比……这实际上引入了更复杂的“变损耗功率”模型，已经超出了高中物理教材的常规范围，触及了简单微分思想和工程近似的边缘。

他没有犹豫，甚至没有先在草稿纸上演算。主题的解答行云流水般出现在答题区：

“解：(1)匀速提升时，电动机输出功率P0全部用于克服重力做功。设拉力为F，速度v=P0/F，同时v=ω*r（卷筒角速度与线速度关系），结合传动比i与电机角速度ω0，可得F=(P0*i)/(r*ω0)=…（代入数值计算）”

“(2)加速阶段，电动机功率恒定，一部分用于增加重物动能，一部分用于克服重力做功。设加速时间为t，根据动能定理：P0*t=(1/2)v2+g*h1(h1为加速阶段提升高度)，结合运动学公式v=a*t,h1=(1/2)at2，可解得t=…”

“(3)总耗电量W=P0*(t+t匀)，其中t匀为匀速阶段时间。”

步骤清晰，逻辑严密，数值计算准确。书写工整，公式和单位一丝不苟。完成这些，他只用去了不到二十分钟。

然后，他的笔尖移向了那片“附加思考”的空白区域。监考老师恰好巡场走到他附近，目光瞥过他的试卷，看到前面密密麻麻却条理分明的解答，眼中掠过一丝惊讶，当看到他真的开始动笔解答附加题时，那惊讶变成了好奇，不由得在他身后微微驻足。

李建国略一沉吟，提笔写道：

“讨论：设齿轮传动摩擦损耗功率Pf=k*ω02，其中k为比例系数，ω0为电机轴角速度。”

“则电动机实际用于提升重物的有效功率Pe=P0-Pf=P0-k*ω02。”

“对问题(1)：匀速时，提升速度v与ω0相关，Pe全部用于克服重力，故有Pe=F*v。此为一关于ω0（或v）的方程，需联立v=(ω0/i)*r求解，结果拉力F将比无损耗时略小，且实际提升速度v_real亦小于理想速度v_ideal。”

“对问题(2)：加速阶段动力学方程需修正为：Pe(t)*dt=d(1/2v2)+gdh。由于Pe随ω0（即随v）变化，方程变为微分形式：∫(P0-k*v2)dt=ΔEk+ΔEp，其中k为换算后的系数。此为一阶非线性微分方程，解析解较复杂，可采用逐次逼近法或数值方法求解。定性可知，加速时间t_real将长于理想时间t_ideal。”

“对问题(3)：总耗电仍为P0*T总，但有效功占比下降，能量利用率η=(gH)/(P0*T总)降低，且η随提升速度设定值（即额定ω0）有最优解。”

“定量修正思路：需通过实验测定特定齿轮组的损耗系数k。在设计中，为最大化能量利用率，应根据负载合理选择电机额定功率与传动比，使系统常工作于低损耗区域。”

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