第33章 不到一小时你就交卷？（2/2）

他的话音刚落下，教室里顿时安静。学生们纷纷低头提笔做题。

楚若然手指转著笔尖，视线扫过试题。

【有6个相同的球，分別標有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的隨机取两次，每次取1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”......】

他快速扫过题干，心里把整个样本空间列好：所有可能的结果是有序对，其中i，j∈{1，2，3，4，5，6}i，j∈\{1，2，3，4，5，6\}i，j∈{1，2，3，4，5，6}，一共36种情况。

“先算各个事件的概率。”

甲：第一次取出的数字是1，可能结果有6种。概率p=6/36=1/6p=6/36=1/6p=6/36=1/6。

乙：第二次取出的数字是2，同理概率也是1/61/61/6。

丙：两次数字和为8，对应、、、、、、、、、、、、，共5种，概率5/365/365/36。

丁：两次数字和为7，对应、、、、、、、、、、、、、、、，共6种，概率6/36=1/66/36=1/66/36=1/6。

他停顿了一下，心里默念：“接下来就看哪些事件是独立的。”

甲和丙——第一次取1，不可能再和成8。交集为零，不独立。

甲和丁——第一次取1，若第二次取6，刚好和为7。交集只有一种情况，概率1/361/361/36。而p?p=1/6?1/6=1/36pp=1/61/6=1/36p?p=1/6?1/6=1/36，完全相等。独立。

乙和丙——第二次取2，若想和为8，第一次必须是6。概率1/361/361/36。但p?p=1/6?5/36=5/216pp=1/65/36=5/216p?p=1/6?5/36=5/216，显然不等，不独立。

丙和丁——一个和是8，一个和是7，互斥事件，不独立。

楚若然笔尖写下答案：b（甲与丁相互独立）。

......

【已知点p，q，s)，若p、q关於y轴对称，求满足条件的θ】

“关於y轴对称就是横坐標变號，。所以条件等价於：s=-sθ，s=sθ。

把公式展开：s=sθs+sθs。

“也就是sθ+sθ=sθ。移项：sθ+sθ=0。”

“那就是sθ=sθ。所以tanθ=sθ/sθ=1/。”

“再有理化一下，等於2+3。嗯，tan75°=2+3。所以θ=5π/12+kπ，k∈z。”

他又代回第一个条件：s=-sθ，也完全成立。

楚若然提笔写下：θ=5π/12+kπ。

......

“压轴题.....”楚若然看著第22题。

【已知函数f=x

討论f的单调性；

设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b】

第一问函数单调性，他写下导数：令f=0，即-lnx=0，解得x=1。

当0lt;xlt;1时，lnxlt;0，所以fgt;0，函数单调递增；

当xgt;1时，lnxgt;0，所以flt;0，函数单调递减。

因此，f在上单调递减。

“很简单，下一问。”

由条件blna-alnb=a-b变形可得：/=1/。

设ξ介於a与b之间，由拉格朗日中值定理有：/=1/ξ。

因此1/ξ=1/，即ξ=ab。

1/a+1/b=/，需证2lt;/lt;e。

楚若然快速写下：由f=f及f的单调性，设0lt;alt;1lt;b。

因为f=1是最大值，f=0，所以a在內，b在內。

纸上很快出现一行新的式子：令u=1/a，v=1/b，则ugt;1，v在內。

“要证的就是2lt;u+vlt;e。由f=f，可得=。”

“整理得到u=v。通过分析函数性质或对称性，可证得u+vgt;2且u+vlt;e。”

楚若然长长呼出一口气，在卷子最后写下：因此，2lt;1/a+1/blt;e。

啪——

他放下手里的笔，检查了一遍卷子，確认没有漏题后直接站起身。

“老师，交卷。”

话音落下，教室里瞬间安静。几十双眼睛齐刷刷地抬起头，目光全盯向他。

“臥槽，这么快”

“我才做倒第一道简答题......”

讲台上的冯宏毅原本低头看资料，听到声音愣了一下，抬头盯著楚若然：“还不到一个小时你就交卷了”

......