第14章 三次根号137134至三次根号138144（1/2）

寻找那沉睡的整数

清晨六点，闹钟尚未响起，我已坐在书桌前。窗外的天色还泛着青灰，台灯的光晕在稿纸上投下一个温暖的圆。我的面前摊开着一张草稿纸，上面密密麻麻写满了数字和演算过程，而最醒目的，是顶端用红笔圈出的两个数字：和。

我的任务，是探寻这个区间内所有整数的三次方根，并试图在其中找到某种规律，或者，一个确切的答案。这并非一道简单的数学题，它更像是一扇门，通往一个由数字和逻辑构建的、寂静而深邃的世界。

起初，我只是机械地套用着公式。三次方根，即寻找一个数$x$，使得$x^3=a$。我拿出计算器，指尖在冰冷的按键上跳跃，将一个个数字输入，然后看着屏幕上跳出的结果。51.563、51.564……数字在缓慢地爬升，精确到小数点后三位、四位、五位。然而，这些冰冷的数字并未给我带来任何启示，它们像是一串串无意义的密码，将我隔绝在真相之外。

我有些烦躁地抓了抓头发，目光从草稿纸移向窗外。远处的楼宇在晨光中渐渐显露出轮廓，街道上开始有了零星的车流。这个世界如此喧嚣，而我却在这里，与一群枯燥的数字较劲。我甚至开始怀疑，这个任务本身是否有意义？在和之间，究竟藏着什么秘密？

就在我几乎要放弃，准备用最笨拙的方法——穷举法——来完成这项任务时，我的视线无意间扫过稿纸上我随手写下的一行算式：$50^3=$。这个数字，远小于我的目标区间。而$52^3=$，又明显超出了上限。那么，答案必然在51和52之间。

这个发现像一道微弱的电流，瞬间击中了我的大脑。我立刻拿起笔，重新开始计算。这一次，我不再是漫无目的地输入，而是有了明确的目标。我先计算$51^3$。

$51\tis51=2601$。

$2601\tis51$。我放慢了速度，仔细地在草稿纸上列竖式。2601乘以1，是2601；2601乘以50，是。两者相加，得到。

。这个数字小于。所以，51太小了。

接下来是52。刚才我已经知道$52^3=$，它大于。所以，52又太大了。

那么，是否存在一个整数$n$，使得$n^3$恰好落在和之间呢？如果存在，那它只能是51和52之间的某个数，但51和52之间没有整数。我的心中涌起一阵失望。难道，这个区间里，根本就没有一个完美的立方数？

我颓然地靠在椅背上，目光有些失焦。难道我这几天的努力，都只是在做无用功吗？就在这时，我的目光再次落在了$51^3=$这个结果上。我忽然意识到，我可能犯了一个方向性的错误。题目要求的，或许并非是在这个区间内寻找一个立方数，而是理解这个区间本身的意义，理解从（$51^3$）到（$52^3$）这个跨度中，数字是如何“生长”的。

我重新振作精神，决定从另一个角度切入。我需要找到这个区间内，三次方根最接近整数的那个值。这就像在茫茫人海中，寻找一个最接近你理想型的人。

我设这个数为$x$，那么$x$应该满足：

$\sqrt[3]{}＜x＜\sqrt[3]{}$

我再次拿起笔，这次，我尝试用一种更“人性化”的方法来估算。我知道$51.5^3$是多少吗？让我来算算。

$51.5\tis51.5$。50乘50是2500，50乘1.5是75，再乘以2是150，1.5乘1.5是2.25。所以，$51.5^2=2500+150+2.25=2652.25$。

然后，$2652.25\tis51.5$。这有点复杂，我把它拆解开来。

$2652.25\tis50=.5$

$2652.25\tis1.5=3978.375$

两者相加，得到.5+3978.375=.875。

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