第6章 三次根号130056至三次根号131066（1/2）

一、定位与锚点：在数轴上找到我们的坐标

首先，我们需要明确这个区间的边界在哪里。要理解$\sqrt[3]{}$和$\sqrt[3]{}$的含义，最直观的方法是寻找它们在数轴上的“邻居”——那些我们熟知的、完美的立方数。

我们很容易知道，$50^3=$。这是一个重要的基准点。显然，和都比大，因此它们的立方根必然大于50。那么，下一个整数的立方是多少呢？$51^3=$。这个数字比我们的区间上限还要大。因此，我们可以立刻得出一个关键结论：**无论是还是，它们的立方根都严格地位于50和51之间。**

这个发现将我们的探索范围大大缩小了。现在，我们需要更精确地定位。让我们尝试计算$50.3^3$和$50.4^3$。

如果我们把这段区间无限放大，会看到无数个介于其间的数值。比如，的立方根是多少？它必然位于50.7和50.92的中点附近。这种连续性是实数的迷人之处。每一个微小的增量，都会在立方根上留下独一无二的印记。

####三、计算的艺术：如何求解这些数值

对于像$\sqrt[3]{}$这样并非完美立方数的根式，我们如何才能求得其精确值呢？这里涉及到数学计算中“近似”与“精确”的哲学。

**1.牛顿迭代法：数学的利剑**

在高等数学和数值计算领域，牛顿迭代法是求解此类问题的利器。其核心思想是利用函数的线性近似来逐步逼近方程的根。对于求$a$的立方根，我们实际上是求解方程$x^3-a=0$的正实数根。

其迭代公式为：$x_{n+1}=\fra+\fra^2}$。

以$a=$为例，我们选取一个初始值$x_0=50$（因为我们知道结果在50左右）。代入公式进行第一次迭代：

$x_1=\frac{2}{3}\tis50+\frac{}{3\tis50^2}\approx33.33+\frac{}{7500}\approx33.33+17.34=50.67$

然后，我们用$x_1=50.67$作为新的输入，再次代入公式：

$x_2=\frac{2}{3}\tis50.67+\frac{}{3\tis(50.67)^2}\approx33.78+\frac{}{7699.2}\approx33.78+16.89=50.67$

可以看到，结果已经收敛到约50.67。经过更多次迭代，我们可以得到精度更高的结果，比如50.71（具体取决于计算精度和迭代次数）。这种方法高效且精确，是计算机和高级计算器内部常用的算法。

**2.估算与线性插值：人类的智慧**

如果不借助复杂的公式和计算器，我们也可以通过估算和线性插值法来获得一个相当不错的近似值。

我们已经知道：

*$50.7^3=.9$

*$50.8^3=.2$

本章未完，点击下一页继续阅读。